4．平面向量的基本定理

如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

3．兩個向量共線定理：

向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。

2．向量的運算

(1)向量加法

求兩個向量和的運算叫做向量的加法.

設(shè)，則+==。

規(guī)定：

(1)；

(2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律；

向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”

(1)用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。

(2) 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點.

當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。

向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：

，但這時必須“首尾相連”。

(2)向量的減法

①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.

記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有：　 (i)=；

(ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。

②向量減法

向量加上的相反向量叫做與的差，

記作：.求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.

③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量(、有共同起點)。

(3)實數(shù)與向量的積

①實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：

(Ⅰ)；

(Ⅱ)當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的。

②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律.

1．向量的概念

①向量

既有大小又有方向的量。向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：.幾何表示法，；坐標表示法。向量的大小即向量的模(長度)，記作||.即向量的大小，記作｜|。

向量不能比較大小，但向量的�？梢员容^大小.

②零向量

長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行.零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行(共線)的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。(注意與0的區(qū)別)

③單位向量

模為1個單位長度的向量，向量為單位向量｜｜＝1。

④平行向量(共線向量)

方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作∥。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。

數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的.

⑤相等向量

長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。

本講內(nèi)容屬于平面向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容，與平面向量的數(shù)量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算等。此類題難度不大，分值5~9分。

預測2010年高考：

(1)題型可能為1道選擇題或1道填空題；

(2)出題的知識點可能為以平面圖形為載體表達平面向量、借助基向量表達交點位置或借助向量的坐標形式表達共線等問題。

(1)平面向量的實際背景及基本概念

通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；

(2)向量的線性運算

①通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；

②通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；

③了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.

(3)平面向量的基本定理及坐標表示

①了解平面向量的基本定理及其意義；

②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；

③會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；

④ 理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

26．解：單擺的振動周期公式為，據(jù)題意l＝Lsina ，

所以A球振動的周期 ．

　設(shè)球B自由下落的時間為t，則它擊中A球下落的高度，

　球A經(jīng)過平衡位置，接著返回到平衡位置的時間為半個周期，即

B球能擊中A球的時間應為A球做簡諧振動的半周期的整數(shù)倍，

即　故　 　

則B球下落的高度Lsina ，其中n＝1，2，3…

25．解：本題在分析時要聯(lián)系牛頓第二定律和機械能的相關(guān)知識進行分析。在放物體前其最大回復力為，振動的機械能為。

(1)放上物體m后，一起振動的最大加速度大小為，對物體而言，所需要的回復力是M施于的靜摩擦力，則放上時加速度最大，所需的靜摩擦力亦最大，設(shè)最大靜摩擦力大小為，則當滿足時，兩者可一起振動，即。

(2)當兩者一起振動時，機械能守恒，過平衡位置時，彈簧恢復原長，彈性勢能為零，則，，物體和振子在最大位移處，動能為零，勢能最大，這個勢能與沒有放物體前相同，所以彈簧的最大形變是不變的，即振幅仍為A。

24.因為圓弧的半徑遠遠大于AB弧長，小球在槽內(nèi)的擺動可以看為簡諧振動，同時小球在沿AD的方向上做勻速直線運動。由于擺動具有周期性，所以小球的速度有通解。

沿AD方向：小球的運動時間t=

又小球在擺動，要到達D點，則t=nT=n·2π　 (n=0、1、2、3……)

得出v=　 (n=0、1、2、3……)

23.解：最高點木塊不脫離彈簧，則振動的最高點不超過彈簧的原長，即A≤，從而有：