Question

11．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)”數(shù)”與”形”的巧妙結(jié)合作了如下研究：

名稱及圖形 幾何點(diǎn)數(shù) 層數(shù)	三角形數(shù)	正方形數(shù)	五邊形數(shù)	六邊形數(shù)
第一層幾何點(diǎn)數(shù)	1	1	1	1
第二層幾何點(diǎn)數(shù)	2	3	4	5
第三層幾何點(diǎn)數(shù)	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六層幾何點(diǎn)數(shù)	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n層幾何點(diǎn)數(shù)	n	2n-1	3n-2	4n-3

請寫出第六層各個(gè)圖形的幾何點(diǎn)數(shù)，并歸納出第n層各個(gè)圖形的幾何點(diǎn)數(shù)．

Answer 1

分析 首先看三角形數(shù)，根據(jù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1、2、3，可知第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是6，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是n；然后看正方形數(shù)，根據(jù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，可知第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是2×6-1=11，可知第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是2n-1；再看五邊形數(shù)，根據(jù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=3×1-2，4=3×2-1，7=3×3-2，可知第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是3×6-2=16，可知第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是3n-2；最后看六邊形數(shù)，根據(jù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=4×1-3，5=4×2-3，9=4×3-3，可知第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是4×6-3=21，可知第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是4n-3；據(jù)此解答即可．

解答 解：因?yàn)椋?br />前三層三角形數(shù)的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1、2、3，
所以：
第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是6，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是n；
因?yàn)椋?br />前三層的正方形幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，
所以：
第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是2×6-1=11，可知第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是2n-1；
因?yàn)椋?br />前三層五邊形的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=3×1-2，4=3×2-1，7=3×3-2，
所以：
第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是3×6-2=16，可知第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是3n-2；
因?yàn)椋?br />前三層六邊形的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=4×1-3，5=4×2-3，9=4×3-3，
可知第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是4×6-3=21，可知第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是4n-3．

名稱及圖形 幾何點(diǎn)數(shù) 層數(shù)	三角形數(shù)	正方形數(shù)	五邊形數(shù)	六邊形數(shù)
第一層幾何點(diǎn)數(shù)	1	1	1	1
第二層幾何點(diǎn)數(shù)	2	3	4	5
第三層幾何點(diǎn)數(shù)	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六層幾何點(diǎn)數(shù)	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n層幾何點(diǎn)數(shù)	n	2n-1	3n-2	4n-3

故答案為：6，11，16，21，n，2n-1.3n-2.4n-3．

點(diǎn)評(píng) 主要考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．