Question

學(xué)校舉辦一次中國象棋比賽，有10名同學(xué)參加，比賽采用單循環(huán)賽制，每名同學(xué)都要與其他9名同學(xué)比賽一局．比賽規(guī)則，每局棋勝者得2分，負者得0分，平局兩人各得1分．比賽結(jié)束后，10名同學(xué)的得分各不相同，已知：
（1）比賽第一名與第二名都是一局都沒有輸過；
（2）前兩名的得分總和比第三名多20分
（3）第四名的得分與最后四名的得分和相等，那么，排名第五名的同學(xué)的得分是

11分

？

Answer 1

分析：首先，由比賽規(guī)則“每局棋勝者得2分，負者得0分，平局兩人各得1分”，可知每場比賽產(chǎn)生的分值是2分．其次，由條件“有10 名同學(xué)參加，比賽采用單循環(huán)賽制，每名同學(xué)都要與其他9名同學(xué)比賽一局”，可知共進行了45 場比賽．因此假設(shè)第一名贏了全部9場比賽，則他得18分．根據(jù)條件“（1）比賽第一名與第二名都是一局都沒有輸過”，可以得出第一名一定和棋過．要是第一名全部贏了，那么第二名一定輸過棋．由上分析可得：第一名最多17分，第二名最多16分．由此再根據(jù)不同情況根據(jù)條件（2）（3）進行分析推理即可．

解答：解：由題意可知，需共比賽10×9÷2=45場比賽，產(chǎn)生的分值共90分．
假設(shè)第一名贏了全部9場比賽，則他得18分．
由（1）可得，第一名一定和棋過．所以第一名最多17分，第二名最多16分．
第一種情況：不妨設(shè)第一名得17分，第二名得16分，則前兩名的得分總和是33分．由條件“（2）前兩名的得分總和比第三名多20分”，則第三名分數(shù)為33-20=13分．
①若設(shè)第四名為12分，則第7、8、9、10名的分數(shù)和為12分．第五名為11分，第六名分數(shù)為9分．全部滿足條件．
②若設(shè)第四名為11分，則第7、8、9、10名的分數(shù)和為11分．此時第五與六名的分數(shù)和為：90-33-13-11-11=22分．必定有人分數(shù)高于11分，矛盾．
③若設(shè)第四名得分低于11分，則同樣可推出矛盾．
第二種情況：不妨設(shè)第一名和第二名總分為32分（第一名得17分，第二名得15分），則第三名為32-20=12分．第四名最多為11分．
那么第7、8、9、10名的分數(shù)和為11分．第五名和第六名分數(shù)和為24分．結(jié)果推導(dǎo)出矛盾來．其它情況都會推導(dǎo)出矛盾．
因此，第五名的成績是11分．
故答案為：11．

點評：根據(jù)已知條件得出第一名及第二名的得分的最大取值范圍并由此根據(jù)不同情況進行分析找出矛盾，通過排除法得出結(jié)論是完成本題的關(guān)鍵．