Question

求方程

1

a

+

1

35

=

1

b

的所有正整數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：不定方程的分析求解

專題：不定方程問題

分析：首先把原方程轉(zhuǎn)化為a=

35b

35-b

=

35b-35×35+35×35

35-b

=

35×35

35-b

-35，然后根據(jù)a、b都是正整數(shù)，求出35-b的取值范圍，并確定b的取值范圍；最后根據(jù)b的取值范圍，分類討論確定b的值，進(jìn)而求出a的值即可．

解答： 解：因?yàn)?span id="knqhjsu" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

a

+

1

35

=

1

b

，
所以a=

35b

35-b

=

35b-35×35+35×35

35-b

=

35×35

35-b

-35，
因?yàn)樵�方程有正整�?shù)解，
所以a＞0，b＞0，
因此0＜35-b＜35，
則0＜b＜35；
因?yàn)閍有正整數(shù)解，
所以35-b能整除35×35，
①當(dāng)35-b=5時(shí)，即b=30時(shí)，a=

35×30

5

=210；
②當(dāng)35-b=7時(shí)，即b=28時(shí)，a=

35×28

7

=140；
③當(dāng)35-b=25時(shí)，即b=10時(shí)，a=

35×10

25

=14；
綜上所述，

a=14 b=10

、

a=140 b=28

和

a=210 b=30

是原方程的解．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二元一次方程的分析求解，解答此題的關(guān)鍵是首先確定b的取值范圍．