Question

【題目】對于由1至6組成的無重復數(shù)字的六位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1，那么可以進行如下的1次操作：記首位數(shù)字為足，則將數(shù)字尼與第七位上的數(shù)字對換，例如，245136可以進行兩次操作：245136→425136→125436．請問：可以進行5次操作的六位數(shù)有多少個？

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：它的首位數(shù)字不是1，是1的話沒有繼續(xù)操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位數(shù)字分別是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因為第一次交換的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一個，因此有四種情況：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；然后分類討論，求出可以進行5次操作的六位數(shù)有多少個即可．

解：它的首位數(shù)字不是1，是1的話沒有繼續(xù)操作的可能，

它的首位既然不能是1，不妨首位數(shù)字分別是6、5、4、3、2，

A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，

因為第一次交換的是第六位，

所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一個，

因此有四種情況：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；

A1：6﹣﹣﹣﹣5時，（僅舉四種情況之一）

因為第二次交換的是第五位，

所以第五位不能是1，只能是4、3、2其中的一個，

因此原數(shù)有6﹣﹣﹣45，6﹣﹣﹣35，6﹣﹣﹣25三種情況；

A11：6﹣﹣﹣45時，（僅舉三種情況之一）

因為第三次交換第四位，

所以第四位不能是1，只能是3、2其中的一個，

因此有：6﹣﹣345；6﹣﹣245二種情況；

A111：6﹣﹣345時，（僅舉兩種情況之一）

因為第四次交換第三位，

所以第三位不能是1，只能是2，

因此有：6﹣2345一種情況；

第二位只能是1：即612345，

第五次交換第二位，結(jié)果是162345；

綜上，以6開頭的六位數(shù)，要能進行五次操作：這樣的數(shù)共有：

4×3×2×1=24（個），

而開頭的數(shù)字可以是2、3、4、5、6這五個數(shù)字之一，

故可以進行5次操作的六位數(shù)共有：5×4×3×2×1=120（個）．

答：可以進行5次操作的六位數(shù)有120個．