Question

有10個整數(shù)克的砝碼（允許砝碼重量相同），將其中一個或幾個放在天平的右邊，待稱的物品放在天平的左邊，能稱出1，2，3，…，200的所有整數(shù)克的物品來；那么，這10個砝碼中第二重的砝碼最少是

18

克．

Answer 1

分析：1、首先此題是一道關(guān)于砝碼的計數(shù)問題，涉及到最值問題和抽屜原理．我們直接使用最基本的數(shù)學(xué)邏輯來進行推論和解答． 2、首先，從最后所求進行分析，要求第二重的砝碼最少，無法進行直接突破，使用的是最值原理的重點思路之一：從反面考慮．第二重砝碼最少，那么就應(yīng)該使其他的砝碼盡量大．
3、首先，分析10個砝碼的總重量很顯然應(yīng)該是200．
4、其次，分析其中最重的砝碼應(yīng)該最大是100，因為如果有超過100克的砝碼，100克的物品就無法稱出．這樣其他9個砝碼總和應(yīng)該是100克．
5、然后，對最小砝碼進行逐一分析．最小的砝碼很顯然必須是1，否則無法稱出1克物品．繼續(xù)分析下一個，下一個按道理還可以是1克，這樣就可以稱出2克物品，但是“其他砝碼盡量大”的原則，所以第二小的砝碼最大應(yīng)該是2克．（不能超過2克，否則2克無法稱出．）
6、繼續(xù)分析第三小的砝碼．要求最大，不能比4克大，否則4克就稱不出來，也不需要3克的，因為3克可以使用1克和2克的合稱出來．所以可以確定是4克．
7、同理繼續(xù)分析第四小的砝碼，應(yīng)該是8克．（從盡量大的角度來說，不需要5，6，7克，從最大的角度來說，不能超過8，否則8克就無法稱出了．）
9、依次類推，其他砝碼依次為16，32，64…
10、但是，注意到限制：9個砝碼總和應(yīng)該是100克，要使得最重的盡量少（其實是10個中第二重的），那么后面的就不需要那么大了．
11、假設(shè)前面6個砝碼為1，2，4，8，16，32…那么顯然最重的應(yīng)該為32，不一定是最少的，
12、假設(shè)前面5個砝碼為1，2，4，8，16…那么還有4個總和為100-31=69，根據(jù)抽屜原理，可分配為17，17，17，18，最重的為18，這是最少的．
13、假設(shè)前面4個砝碼為1，2，4，8…那么還有5個總和為100-15=85，平均為85/5=17，又第五個最大是16，所以最重的至少為18，實質(zhì)和上面一類是一樣的．
14、綜上所述，10個砝碼中第二重的砝碼最少為18克，此時的砝碼為：1，2，4，8，16，17，17，17，18，100．

解答：解：①10個砝碼的總重量很顯然應(yīng)該是200克．
②其中最重的砝碼應(yīng)該最大是100克．
③最小的砝碼很顯然必須是1克．下一個按道理還可以是1克，這樣就可以稱出2克物品，所以第二小的砝碼最大應(yīng)該是2克．
④第三小的砝碼．可以確定是4克．
⑤同理第四小的砝碼，應(yīng)該是8克
⑥依次類推，其他砝碼依次為16，32，，6…
⑦9個砝碼總和應(yīng)該是100克，要使得最重的盡量少（其實是10個中第二重的），那么后面的就不需要那么大了．
⑧假設(shè)前面6個砝碼為1、2、4、8、16、32…那么顯然最重的應(yīng)該為32，不一定是最少的，
⑨假設(shè)前面5個砝碼為1、2、4、8、16，那么還有4個總和為100-31=69，根據(jù)抽屜原理，可分配為17、17、17、18，最重的為18，這是最少的．
⑩假設(shè)前面4個砝碼為1、2、4、8，那么還有5個總和為100-15=85，平均為85÷5=17，又第五個最大是16，所以最重的至少為18，實質(zhì)和上面一類是一樣的．
綜上，10個砝碼中第二重的砝碼最少18克，此時的砝碼為：1、2、4、8、16、17、17、17、18、100．
故答案為18克．

點評：1、此題的難度很大，考察到了最值問題，最值問題是數(shù)學(xué)中的重要專題，最值問題最重要的思想就是某數(shù)的最大一定對應(yīng)著其他數(shù)的最�。�
2、此題的分析思路都要注意到兩個限制條件：“砝碼盡量大”的原則和“能稱出1，2，3，…，200的所有整數(shù)克的物品來”的前提．兩個條件互相綜合才得到前面砝碼呈現(xiàn)1，2，4，8…的規(guī)律．
3、同時還滲透了抽屜原理．