Question

把一個多邊形沿著幾條直線剪開，分割成若干個多邊形．分割后的多邊形的邊數(shù)總和比原多邊形的邊數(shù)多13條，內角和是原多邊形內角和的1.3倍．
請問：①原來的多邊形是幾邊形？②把原來的多邊形分割成了多少個多邊形？

Answer 1

考點：多邊形的內角和

專題：平面圖形的認識與計算

分析：把多邊形沿直線剪開，每增加一個多邊形，邊數(shù)的增加會出現(xiàn)以下三種情況：（1）當直線經過兩個頂點時，增加兩條邊；（2）當直線經過一個頂點時，增加三條邊；（3）當直線不經過頂點時，增加四條邊．于是，當將原多邊形分割成4個小多邊形，最多可以增加4×3=12條邊，當將原多邊形分割成8個小多邊形，最少可以增加2×7=14條邊．所以分割后的多邊形的個數(shù)是5，6，7中的一個．設原多邊形的邊數(shù)是n，分割成邊數(shù)為a₁，a₂，…，a_m的m個多邊形，則m個多邊形的總邊數(shù)為a₁+a₂+…+a_m由題意，可得方程a₁+a₂+…+a_m=n+13，180（a₁-2）+180（a₂-2）+…+180（a_m-2）=1.3×180（n-2），再整理可得3n+20m=156，再討論出二元一次方程的整數(shù)解即可．

解答： 解：設原多邊形的邊數(shù)是n，分割成邊數(shù)為a₁，a₂，…，a_m的m個多邊形，則m個多邊形的總邊數(shù)為a₁+a₂+…+a_m，由題意有
a₁+a₂+…+a_m=n+13，
180（a₁-2）+180（a₂-2）+…+180（a_m-2）=1.3×180（n-2），
則3n+20m=156，
解得：m=6，n=12．
答：原來的多邊形是12邊形，把原來的多邊形分割成了6個小多邊形．

點評：此題主要考查了多邊形，關鍵是掌握多邊形內角和公式180°（n-2）．