Question

如圖，設(shè)ABCD是正方形，P是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC邊上，且∠APQ=90°，AQ與BP相交于點(diǎn)T，則

BT

TP

的值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：三角形面積與底的正比關(guān)系

專題：平面圖形的認(rèn)識與計(jì)算

分析：作高BE、PH．設(shè)正方形的邊長是2，根據(jù)三角形ADP與三角形PCQ相似，求出CQ、PQ的長．進(jìn)而求出BQ、AQ的長．在兩個直角三角形中，根據(jù)面積公式，分別求出斜邊上的高．再求出兩個高的比，它就是BT與PT的比．

解答： 解：作高BE、PH．
設(shè)正方形的邊長是2．則DP=CP=1，AD=2．
AP²=2²+1²=5，
所以AP=

5

．
∠APQ=90°，所以∠APD+∠CPQ=90°，
又∠APD+∠PAD=90°，所以∠PAD=∠CPQ，
所以直角△ADP∽△PCQ．
所以AD：PC=AP：PQ=DP：CQ．
即2：1=

5

：PQ=1：CQ，
所以PQ=

5

2

，CQ=0.5．
BQ=2-0.5=1.5．AQ²=AB²+BQ²=2²+1.5²=

25

4

，
所以AQ=

25 4

=

5

2

．
S_△ABQ=AB×BQ÷2=AQ×BE÷2．
BE=AB×BQ÷AQ=2×1.5÷

5

2

=

6

5

．
S_△APQ=AP×PQ÷2=AQ×PH÷2，
PH=AP×PQ÷AQ=

5

×

5

2

÷

5

2

=1．
又BE⊥AQ，PH⊥AQ，
所以△BET∽△PHT，
BT：PT=BE：PH=

6

5

：1=6：5．

點(diǎn)評：本題須根據(jù)正方形的有關(guān)性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的面積公式等知識來解答．