Question

5400共有多少個(gè)約數(shù)？并求出所有約數(shù)乘積的質(zhì)因數(shù)分解形式．

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理,合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)

專題：數(shù)的整除,整除性問題

分析：首先把5400分解質(zhì)因數(shù)，進(jìn)一步利用約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算方法，注意分析含有質(zhì)因數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，相乘得出答案即可．

解答： 解：5400=2³×3³×5²，
約數(shù)個(gè)數(shù)為（3+1）×（3+1）×（2+1）=48個(gè)，
其中含有2¹，2²，2³的約數(shù)有（3+1）×（2+1）=12個(gè)，
所以含有2的因子有（1+2+3）×12=72個(gè)；
其中含有3¹，3²，3³的約數(shù)有（3+1）×（2+1）=12個(gè)，
所以含有3的因子有（1+2+3）×12=72個(gè)；
其中含有5¹，5²的約數(shù)有（3+1）×（3+1）=16個(gè)，
所以含有5的因子有（1+2）×16=48個(gè)；
所以所有約數(shù)乘積為2⁷²×3⁷²×5⁴⁸．

點(diǎn)評(píng)：此題主要利用約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算方法：一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)（次數(shù)）加1后所得的乘積．