Question

任意k個自然數(shù)，從中是否能找出若干個數(shù)（也可以是一個，也可以是多個），使得找出的這些數(shù)之和可以被k整除？說明理由．

Answer 1

分析：先從兩個自然數(shù)入手，有偶數(shù)，可被2整除，結(jié)論成立；當(dāng)其中無偶數(shù)，奇數(shù)之和是偶數(shù)可被2整除；再推到3個自然數(shù)，當(dāng)其中有3的倍數(shù)，選這個數(shù)即可；當(dāng)無3的倍數(shù)，若這3個數(shù)被3除的余數(shù)相等，那么這3個數(shù)之和可被3整除，若余數(shù)不同，取余1和余2的各一個數(shù)和能被3整除，類似斷定5個，6個，…，整數(shù)成立．利用結(jié)論與若干個數(shù)之和有關(guān)，構(gòu)造k個和．設(shè)k個數(shù)是a₁，a₂，…，a_k，考慮，b₁，b₂，b₃，…b_k其中b₁=a₁，b₂=a₁+a₂，…，b_k=a₁+a₂+a₃+…+a_k，考慮b₁，b₂，…，b_k被k除后各自的余數(shù)，共有b；能被k整除，問題解決．若任一個數(shù)被k除余數(shù)都不是0，那么至多有余1，2，…，余k-1，所以至少有兩個數(shù)，它們被k除后余數(shù)相同．這時它們的差被k整除，即a₁，a₂…，a_k中存在若干數(shù)，它們的和被k整除．

解答：解：根據(jù)分析任意k個自然數(shù)，從中能找出若干個數(shù)（也可以是一個，也可以是多個），使得找出的這些數(shù)之和可以被k整除．
故答案為：能．

點(diǎn)評：解決此題關(guān)鍵在于運(yùn)用以小見大的方法，從兩個自然數(shù)入手，到三個，再到k個逐一分析得出結(jié)論即可．