Question

1．三千多年前，埃及人發(fā)現(xiàn)了一種特殊的功能，這些分數(shù)的分子為1，它們被稱為單位分數(shù)，例如$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$等．
（1）你能計算下面單位分數(shù)的和嗎？
$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{20}$；$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{30}$
（2）從上面式子可得：$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，n是正整數(shù)．
（3）利用上述規(guī)律將1分解成幾個單位分數(shù)之和，如1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$．
①請將1分解為5個單位分數(shù)之和；
②請將1分拆為幾個分母是偶數(shù)的單位分數(shù)之和．

Answer 1

分析 （1）可利用分數(shù)的基本性質(zhì)將分數(shù)的分子、分母擴大相同的倍數(shù)（0除外），再將分子拆成兩個自然數(shù)的和；可得：$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）從第一問可以直接得出該結(jié)論；
（3）利$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$把每個單位分數(shù)繼續(xù)變小拆得；
據(jù)此解答即可．

解答 解：（1）
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{6}$$+\frac{1}{6}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{12}$=$\frac{3}{12}$$+\frac{1}{12}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$$+\frac{1}{20}$=$\frac{4}{20}$$+\frac{1}{20}$=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$$+\frac{1}{30}$=$\frac{5}{30}$$+\frac{1}{30}$=$\frac{6}{30}$=$\frac{1}{5}$
即為：
（2）$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$
（3）①因為：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$
所以：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{7}$$+\frac{1}{7}$$+\frac{1}{42}$$+\frac{1}{42}$=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{7}$$+\frac{1}{7}$$+\frac{1}{21}$
②因為：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{7}$$+\frac{1}{42}$，$\frac{1}{7}$=$\frac{1}{8}$$+\frac{1}{72}$
所以：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$$+\frac{1}{42}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{72}$$+\frac{1}{42}$．
因為：
$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{20}$
所以：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{72}$$+\frac{1}{42}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{20}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{72}$$+\frac{1}{42}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n}$．

點評 本題主要是根據(jù)第一問總結(jié)出規(guī)律，并且正確的拆數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．