Question

觀察以下的運算：
若

.

abc

是三位數(shù)，因為

.

abc

=100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）
所以，若a+b+c能被9整除，

.

abc

能被9整除．
這個結(jié)論可以推廣到任意多位數(shù)．
運用以上的結(jié)論，解答以下問題：
（1）N是2011位數(shù)，每位數(shù)字都是2，求N被9除，得到的余數(shù)．
（2）N是n位數(shù)，每位數(shù)字都是7，n是被9除余3的數(shù)．求N被9除，得到的余數(shù)．

Answer 1

分析：（1）被9整除的數(shù)的特征是：各個數(shù)位上的數(shù)字的和能夠被9整除，N是2011位數(shù)，并且每位數(shù)字都是2，它的各個數(shù)位上的數(shù)字的和為（2011×2），進一步算出此和被9除，得到的余數(shù)，也即N被9除，得到的余數(shù)；
（2）根據(jù)被9整除的數(shù)的特征，可知自然數(shù)N各個數(shù)位上數(shù)字之和為7n；由于n÷9余3，所以設(shè)n=9k+3，則7n=7（9k+3）=63k+21=（63k+18）+3=9（7k+2）+3；那么N-3的各個數(shù)位上數(shù)字和為7n-3=9（7k+2）能被9整除，所以N-3能被9整除，所以N被9除的余數(shù)也是3．

解答：解：（1）2011×2=4022；
4022÷9=446…8，
所以N被9除，得到的余數(shù)是8；
（2）自然數(shù)N各個數(shù)位上數(shù)字之和為7n；由于n÷9余3，所以不妨設(shè)n=9k+3，
則7n=7（9k+3）=63k+21=（63k+18）+3=9（7k+2）+3；
那么N-3的各個數(shù)位上數(shù)字和為7n-3=9（7k+2）能被9整除，所以N-3能被9整除，所以N被9除的余數(shù)也是3．
答：（1）N被9除，得到的余數(shù)是9，（2）N被9除，得到的余數(shù)是3．

點評：此題考查數(shù)的整除特征，關(guān)鍵是根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字的和能夠被9整除，進一步解決問題．