一個四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同,將其千位與個位數(shù)字調(diào)換后形成新的四位數(shù),新四位數(shù)與原數(shù)的最大公約數(shù)是63,則原四位數(shù)可能是多少?
考點(diǎn):公約數(shù)與公倍數(shù)問題
專題:整除性問題
分析:設(shè)M=abcd,N=dbca,則M-N=1000a+100b+10c+d-(1000d+100b+10c+a)=999a-999d=999(a-d);因?yàn)镸和N的最大公約數(shù)是63,所以M與M-N的最大公約數(shù)也是63,
可得999(a-d)是7、9的倍數(shù),所以a-d=7,解得
a=9
d=2
a=8
d=1
,所以M=9bc2或M=8bc1,M是7、9的倍數(shù),然后分類討論,求出原四位數(shù)可能是多少即可.
解答: 解:設(shè)M=abcd,N=dbca,則M-N=1000a+100b+10c+d-(1000d+100b+10c+a)=999a-999d=999(a-d);
因?yàn)镸和N的最大公約數(shù)是63,
所以M與M-N的最大公約數(shù)也是63,
可得999(a-d)是7、9的倍數(shù),
所以a-d=7,
解得
a=9
d=2
a=8
d=1

M=9bc2或M=8bc1,M是7、9的倍數(shù),
①當(dāng)M=9bc2時(shí),
因?yàn)镸是9的倍數(shù),
所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍數(shù),
因此b+c=7或b+c=16(舍去),
經(jīng)驗(yàn)證,9702滿足題意,
同理,2709也滿足題意;
②當(dāng)M=8bc1時(shí),
因?yàn)镸是9的倍數(shù),
所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍數(shù),
因此b+c=9或b+c=18(舍去),
經(jīng)驗(yàn)證,8631滿足題意,
同理,1638也滿足題意,
綜上,原四位數(shù)是9702、2709、8631或1638.
點(diǎn)評:此題主要考查了公約數(shù)與公倍數(shù)問題的應(yīng)用,解答此題的關(guān)鍵是判斷出:M與M-N的最大公約數(shù)也是63.
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