Question

某校六年級(jí)抽查了60位同學(xué)，其中

2

3

的同學(xué)愛(ài)好打乒乓球，

3

4

的同學(xué)愛(ài)好打籃球．
（1）兩種運(yùn)動(dòng)都愛(ài)好的同學(xué)最多可能是多少位？最少可能是多少位？
（2）如果這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都愛(ài)好的有32位，那么：
①只愛(ài)好打籃球的有多少位？
②兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不愛(ài)好的有多少位？

Answer 1

分析：（1）求兩種運(yùn)動(dòng)都愛(ài)好的同學(xué)最多可能是多少位，這就要求愛(ài)好乒乓球的

2

3

和愛(ài)好打籃球

3

4

最大可能重合，因?yàn)?span id="m0imo44" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

2

3

＜

3

4

也就是60×

2

3

個(gè)=40個(gè)；最少也就是要求這

2

3

和

2

3

中最小部分重合，根據(jù)容斥原理可知，最少有

2

3

+

3

4

-1=

1

12

，60×

5

12

=25個(gè)．
（2）因?yàn)檫@兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都愛(ài)好的有32位，愛(ài)好打籃球的有60×

3

4

=45人，則只愛(ài)好打籃球的有45-32=13人；根據(jù)容斥原理可知，愛(ài)好兩種運(yùn)動(dòng)的共有60×（

2

3

+

3

4

）-32人，則兩種都不愛(ài)好的有60-[60×（

2

3

+

3

4

）-32]人．

解答：解：（1）60×

2

3

個(gè)=40（個(gè)），
60×（

2

3

+

3

4

-1）
=60×

5

12

，
=25（人）；
答：兩種運(yùn)動(dòng)都愛(ài)好的同學(xué)最多可能是40位，最少可能是25位．

（2）60×

3

4

-32
=45-32，
=13（人）；
答：只愛(ài)好打籃球的有13位．

60-[60×（

2

3

+

3

4

）-32]
=60-[60×

17

12

-32]，
=60-[85-32]，
=60-53，
=7（人）；
答：兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不愛(ài)好的有7人．

點(diǎn)評(píng)：容斥原理之一：A類(lèi)B類(lèi)元素個(gè)數(shù)總和=屬于A類(lèi)元素個(gè)數(shù)+屬于B類(lèi)元素個(gè)數(shù)-既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)．