Question

8．兩個自然數的和是111，要使這兩個數的最大公因數盡可能大，這兩個數應該取多少？要使這兩個數的最大公因數盡可能小，這兩個數應該取多少？

Answer 1

分析 由題中2個自然數，它們的和是111，如果要求這2個數的公約數盡可能大，那么2個自然數的公約數也一定是111的約數，這樣，討論2個數的最大公約數的問題可以轉化為討論111的約數問題．在此基礎上來確定這2個數，使它們的和為111且最大公約數為最大和最�。�

解答 解：（1）因為111=3×37，其約數有1，3，37，111．顯然111不符合要求，
再考慮約數37，由于111=37×3=37×（1+2）=37+37×2．
如果取37，37×2=74這2個數，就滿足題目的要求使這兩個數的最大公因數盡可能大其和為111且他們的最大公約數為37．
 （2）同理，因為111=3×37=1×111，其約數有1，3，37，111．顯然111不符合要求，
考慮約數1，由于111=1×111=1+110，
如果取1，110這2個數，就滿足題目的要求使這兩個數的最大公因數盡可能小且其和為111且他們的最大公因數為1．
答：要使這兩個數的最大公因數盡可能大，這兩個數應該取37和74，要使這兩個數的最大公因數盡可能小，這兩個數應該取1和110．

點評 此題主要考查約數定理的靈活應用，關鍵是明確要使這2個數的公約數盡可能大（�。�，那么2個自然數的公約數也一定是111的約數．