Question

100、如圖，小剛在圓周上放了1枚黑子和2010枚白子，從黑子開始，按順時針方向，每隔1枚，取走 1枚，即留下奇數(shù)號棋子，取走偶數(shù)號棋子，若黑子初始位置是第2011號，則最后剩下的棋子最初是第幾號？

Answer 1

分析：本題可從簡單的問題開始，通過實驗尋找規(guī)律．如果圓圈上只有1、2號兩枚棋子，最后剩下的是1號；如果圓圈上只有1～4號這4枚棋子，通過實驗發(fā)現(xiàn)：最后剩下的也是1號；如果圓圈上只有1～8號這8枚棋子后剩下的也是1號；而2=2¹，4=2²，8=2³，…，由此可以得出一個規(guī)律：當(dāng)圓圈上有2ⁿ個號碼時，按題目中的取法最后剩下的一定是1號．但2011不是2的n次方，須設(shè)法使圓圈上的數(shù)是2的若干次方．因為1024是2的10次方，而2048是2的11次方，2011-1024=987．所以從2011枚棋子中去掉987枚棋子后就只剩下1024枚棋子．又因為987×2=1974，即從1開始，取走2，4，6，8，…，1974共987枚棋子后，從1974開始數(shù)：1975，1976，1977，…，2011，1，3，5，…，1971，1973，共有1024枚棋子，1024等于2的10次方．這一來，問題就變成：將這剩下的1024枚棋子按順時針方向，依次排成一個圓圈，從1975開始，留下1975，取走1976，…，正好符合上面規(guī)律的要求．所以最后剩下的一枚棋子為開始的那枚棋子，即最初的1975號棋子．

解答：解：通過實驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓圈上有2ⁿ個號碼時，按題目中的取法最后剩下的一定是1號．
因為1024是2的10次方，而2048是2的11次方，2011-1024=987．
所以從2011枚棋子中去掉987枚棋子后就只剩下1024枚棋子．又987×2=1974，
即從1開始，取走2，4，6，8，…，1974共987枚棋子后，從1974開始數(shù)：
1975，1976，1977，…，2011，1，3，5，…，1971，1973，共有1024枚棋子，1024等于2的10次方．
、將這剩下的1024枚棋子按順時針方向，依次排成一個圓圈，從1975開始，留下1975，取走1976，…，
正好符合上面規(guī)律的要求．所以最后剩下的一枚棋子為開始的那枚棋子，
即最初的1975號棋子．
答：最后剩下的棋子最初是1975號．

點評：本題如果直接按規(guī)則操作數(shù)據(jù)較多，且規(guī)律不明顯，因此可從簡單的數(shù)開始，通過實驗尋找規(guī)律，然后再據(jù)規(guī)律結(jié)合題是數(shù)據(jù)進行推理．