Question

一個(gè)大于0的整數(shù)的每一個(gè)數(shù)字不是7就是9，但不全是7也不全是9，并且它是7和9的倍數(shù)，滿足上述條件的最小正整數(shù)是多少？

Answer 1

分析：因?yàn)閿?shù)字只包括7和9，那我們?cè)O(shè)有x個(gè)7，y個(gè)9，則所有數(shù)位的數(shù)字之和為7x+9y，得到的值必須是9的倍數(shù)，設(shè)7x+9y=9z，推得7x=9（z-y）；要使數(shù)字要最小，則先考慮x為9的情況，即該數(shù)字中至少有9個(gè)7，則該數(shù)字各數(shù)位的和至少是7×9=63；則Y的值可以從1開(kāi)始隨便取，該數(shù)字一定是9的倍數(shù)；開(kāi)始討論，（1）若y為1，即數(shù)字中有9個(gè)7，1個(gè)9，且把9先看成是7+2；設(shè)該數(shù)字為7777777777+2×10ⁿ，要使該數(shù)字要為7的倍數(shù)，則2×10ⁿ要為7的倍數(shù)，顯然不可能；（2）若y為2，即數(shù)字中有9個(gè)7，2個(gè)9，設(shè)該數(shù)字為77777777777+2×10ⁿ+2×10^m；要使該數(shù)字要為7的倍數(shù)，則2×10ⁿ+2×10^m要為7的倍數(shù)；因?yàn)橐�最小，所以n取0開(kāi)始試；當(dāng)n取1時(shí)，2×10ⁿ+2×10^m=22不成立；當(dāng)n取2時(shí)，2×10ⁿ+2×10^m=202不成立；當(dāng)n取3時(shí)，2×10ⁿ+2×10^m=2002成立；所以該數(shù)字為77777777777+2×10⁰+2×10³=77777779779．

解答：解：因?yàn)閿?shù)字只包括7和9，那我們?cè)O(shè)有x個(gè)7，y個(gè)9，則所有數(shù)位的數(shù)字之和為7x+9y，得到的值必須是9的倍數(shù)，
設(shè)7x+9y=9z，推得7x=9（z-y）；
要使數(shù)字要最小，則先考慮x為9的情況，即該數(shù)字中至少有9個(gè)7，
則該數(shù)字各數(shù)位的和至少是7×9=63；則y的值可以從1開(kāi)始隨便取，該數(shù)字一定是9的倍數(shù)；
開(kāi)始討論，（1）若y為1，即數(shù)字中有9個(gè)7，1個(gè)9，且把9先看成是7+2；
設(shè)該數(shù)字為7777777777+2×10ⁿ，要使該數(shù)字要為7的倍數(shù)，則2×10ⁿ要為7的倍數(shù)，顯然不可能；
（2）若y為2，即數(shù)字中有9個(gè)7，2個(gè)9，設(shè)該數(shù)字為77777777777+2×10ⁿ+2×10^m；
要使該數(shù)字要為7的倍數(shù)，則2×10ⁿ+2×10^m要為7的倍數(shù)；
因?yàn)橐�最小，所以n取0開(kāi)始試；當(dāng)n取1時(shí)，2×10ⁿ+2×10^m=22不成立；
當(dāng)n取2時(shí)，2×10ⁿ+2×10^m=202不成立；
當(dāng)n取3時(shí)，2×10ⁿ+2×10^m=2002成立
所以該數(shù)字為77777777777+2×10⁰+2×10³；
=77777779779；
答：滿足上述條件的最小正整數(shù)是77777779779．

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知量，再根據(jù)題意和倍數(shù)的意義，分類(lèi)討論得出符合要求的答案．