Question

兩個人共同寫一個由 1、2、3、4、5組成的 2010 位數(shù)，先由甲寫第一個數(shù)字，然后兩人輪流寫數(shù)字．
（1）乙是否可以保證最終得到的數(shù)是 9 的倍數(shù)？若能，如何做到？若不能請說明理由．
（2）如果兩人共同寫一個這樣的 2012 位數(shù)，乙是否可以保證最終得到的數(shù)是 9 的倍數(shù)？若能，如何做到？若不能，請說明甲的策略．

Answer 1

考點：最佳對策問題

專題：數(shù)學(xué)游戲與最好的對策問題

分析：（1）1、2、3、4、5、3無論怎樣組合1+2+3+4+5+3=18，能被9整除，如：214353÷9=23817，335124÷9=37236，…，這六個數(shù)字的循環(huán)能被9整除，2010÷6=335，有335個循環(huán)，同理2010位數(shù)也能倍9整除，把這六個數(shù)分成兩組，發(fā)現(xiàn)1+5=6，2+4=6，3+3=6，所以只要甲寫1，則乙寫6-1=5；甲寫2，則乙寫6-2；甲寫3，則乙寫6-3=3；甲寫4，則乙寫6-4=2；甲寫5，則乙寫6-5=1；即可保證乙獲勝．
（2）2012÷6=335…2，不是6的整數(shù)倍，乙無法和（1）那樣，跟在甲的后面寫數(shù)，保證是1、2、3、4、5、3六個數(shù)字的循環(huán)，乙不能獲勝，除非前兩個數(shù)字是45或54，后面的2010位數(shù)同（1）樣跟在甲后面寫，則乙才能保證2012位數(shù)倍9整除，有可能獲勝；甲為了保證獲勝，則第一個數(shù)字就不寫4和5，即在1、2、3中任選一個，乙無法獲勝；據(jù)此得解．

解答： 解：（1）根據(jù)分析，只要甲寫1，則乙寫6-1=5；甲寫2，則乙寫6-2；甲寫3，則乙寫6-3=3；甲寫4，則乙寫6-4=2；甲寫5，則乙寫6-5=1；即可保證乙獲勝．
（2）甲為了保證獲勝，則第一個數(shù)字就不寫4和5，即在1、2、3中任選一個，乙無法獲勝．

點評：此題關(guān)鍵是1、2、3、4、5、3六個數(shù)字的組合是9的整數(shù)倍．