Question

3．學校將學生分組開展課外活動．每組5人，多2人；每組6人，少5人；每組7人，少2人．參加課外活動的學生至少有多少人？

Answer 1

分析 設按5人分組時，組數為x； 按6人分組時，組數為y；按7人分組時，組數為z，$x=\frac{6y-1}{5}$因為x，y為整數，（6y-1）被5整除的個位數一定是0或5，所以y可以取1，6，11，16，21，26…（也就是等差為5的數列），同理，由5x+2=7z-2得z為2，7，12，17，22，27…（也是等差為5的數列），$y=\frac{7z-3}{6}$，
（7z-3）被6整除，z必須是奇數而且是能被3整除的．從z取值數列看，符合這樣條件的其最小值是27．而根據題義，也應取最小值．所以z=27． 代入方程中，得出x=37，y=31． 再解答即可．

解答 解：設按5人分組時，組數為x； 按6人分組時，組數為y；按7人分組時，組數為z； 
由題列出方程：5x+2=6y+1
                $x=\frac{6y-1}{5}$
因為x，y為整數，（6y-1）被5整除的個位數一定是0或5，
所以y可以取1，6，11，16，21，26…（也就是等差為5的數列） 
同理，由5x+2=7z-2得z為2，7，12，17，22，27…（也是等差為5的數列） 
由6y+1=7z-2
    $y=\frac{7z-3}{6}$，
（7z-3）被6整除，z必須是奇數而且是能被3整除的．從z取值數列看，符合這樣條件的其最小值是27．而根據題義，也應取最小值．所以z=27． 
代入方程中，得出x=37，y=31． 
驗算：37×5+2=187 
31×6+1=187 
27×7-2=187 
答：參加課外活動的學生至少有187人．

點評 本題考查了公倍數公因數應用題，關鍵是求得x=37，y=31，z=27．