Question

18．如圖，在三角形ABC中，點D、E、F分別為AB、BC、CA延長線的點，且$\frac{AD}{AB}$=2；$\frac{BE}{BC}$=3；$\frac{CF}{AC}$=4，三角形ABC的面積為1，則三角形DEF的面積為20.5．

Answer 1

分析
過點B作線段DE的平行線交線段AF與點M，過點A作線段EF的平行線交線段CE與點N，過點C作線段DE的平行線交線段DB與點P，因為$\frac{AD}{AB}$=2；$\frac{BE}{BC}$=3；$\frac{CF}{AC}$=4，所以MA：AC=1.5：1，CN：BC=1：2，PB：AB=1：2，根據(jù)等高的三角形的面積之比等于底的比，即可求得三角形AMB的面積=2三角形ABC的面積=2×1=2，三角形ANC的面積=三角形ABC面積的一半=1÷2=0.5，三角形CBP的面積=三角形ABC面積的一半=1÷2=0.5，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求得：三角形AMB的面積：三角形ADF的面積=（1：2）²，得出三角形ADF的面積=8，同理可得：三角形CEF的面積=16×0.5=8，三角形DBE的面積=9×0.5=4.5，故此三角形AEF的面積=8+8+4.5=20.5，據(jù)此解答即可．

解答 解：如圖：

過點B作線段DE的平行線交線段AF與點M
過點A作線段EF的平行線交線段CE與點N
過點C作線段DE的平行線交線段DB與點P
因為：
且$\frac{AD}{AB}$=2；$\frac{BE}{BC}$=3；$\frac{CF}{AC}$=4
所以：
M：DF=AB：AD=1：2
AN：EF=CA：CF=1：4
PC：DB=BC：BE=1：3
MA：AC=1.5：1，CN：BC=1：2，PB：AB=1：2
根據(jù)等高的三角形面積之比等于它們底的比，所以：
三角形AMB的面積=2三角形ABC的面積=2×1=2
三角形ANC的面積=三角形ABC面積的一半=1÷2=0.5
三角形CBP的面積=三角形ABC面積的一半=1÷2=0.5
所以：
三角形AMB的面積：三角形ADF的面積=（1：2）²
三角形ADF的面積=8
同理可得：
三角形CEF的面積=16×0.5=8
三角形DBE的面積=9×0.5=4.5
而：
三角形AEF的面積
=三角形ADF的面積+三角形CEF的面積+三角形DBE的面積
=8+8+4.5
=20.5
答：三角形DEF的面積為20.5
故答案為：20.5．

點評 考查了利用三角形相似及其等高的三角形的面積之間的關(guān)系，搞清楚它們之間的關(guān)系是關(guān)鍵．