Question

如圖所示，三角形ABC是一個以A為直角頂點的直角三角形，其中AB長20米，AC長15米．甲從A點出發(fā)以2米/秒的速度不停地在A、B之問往返，乙從C點出發(fā)以1米/秒的速度不停地在A、C之間往返．在某些時刻，甲到達(dá)D點，乙到達(dá)E點，四邊形DECB恰好成為一個梯形．求梯形DECB面積的最小值．

Answer 1

考點：最大與最小,梯形的面積

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：解：根據(jù)題意，甲沿AB方向以2cm/s的速度向點B運動；同時乙從點C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度向點A運動，設(shè)當(dāng)AD=m，AE=n時，三角形ADE的面積最大，則此時梯形DECB面積取得最小值．依題意有：m÷2=15-n，S三解形ADE=

1

2

mn=（15-n）×n=-（n-

15

2

）²+（

15

2

）²，最大值為n=

15

2

時取得，此時三解形面積為

225

4

，進而解決問題．

解答： 解：設(shè)當(dāng)AD=m，AE=n時，三角形ADE的面積最大，則此時梯形DECB面積取得最小值．
依題意有：m÷2=15-n
S三解形ADE=

1

2

mn=（15-n）×n=-（n-

15

2

）²+（

15

2

）²
最大值為n=

15

2

時取得，此時三解形面積為

225

4

S梯形DECB=

1

2

×20×15-

225

4

=

375

4

=93.75（平方米）．

點評：此題屬于較難的最值問題，求出三角形ADE的面積最大值，也就求出了梯形DECB面積的最小值．