Question

把一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)寫在另一個(gè)不同的兩位質(zhì)數(shù)右邊，得到一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)能被這兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的一半整除．這樣的兩個(gè)質(zhì)數(shù)乘積最大是多少？最小是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小

專題：整除性問題

分析：根據(jù)題意，設(shè)出兩個(gè)質(zhì)數(shù)，再根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程，再根據(jù)未知數(shù)的取值受限，解答即可．

解答： 解：設(shè)a，b是滿足題意的質(zhì)數(shù)，根據(jù)一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)寫在另一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)后面，得到一個(gè)四位數(shù)，它能被這兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的一半整除
那么有100a+b=k（a+b）÷2（ k為大于0的整數(shù)）
即（200-k）a=（k-2）b
由于a，b均為質(zhì)數(shù)，所以k-2可以整除a，200-k可以整除b
那么設(shè)k-2=ma，200-k=mb，（ m為整數(shù)）
得到m（a+b）=198
由于a+b可以被2整除
所以m是99的約數(shù)
可能是1，3，9，11，33，99
若m=1，a+b=198且為兩位數(shù) 顯然只有99+99 這時(shí)a，b不是質(zhì)數(shù)
若m=3，a+b=66 則 a=13 b=53
或a=19 b=47
或a=23 b=43
或a=29 b=37
若m=9，a+b=22 則a=11 b=11（舍去）
其他的m值都不存在滿足的a，b
綜上a，b實(shí)數(shù)對(duì)有（13，53）（19，47）（23，43）（29，37）共4對(duì)
13×53=689，19×47=893，23×43=989，29×37=1073
所以兩個(gè)質(zhì)數(shù)乘積最大是：1073
乘積最小是：689
答：這樣的兩個(gè)質(zhì)數(shù)乘積最大是1073，最小是689．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出不定方程，再根據(jù)質(zhì)數(shù)，整除的定義及未知數(shù)的取值受限，解不定方程即可．