Question

【題目】已知圓是等邊的外接圓，延長(zhǎng)至，使，連交圓于，點(diǎn)在邊上，且，延長(zhǎng)至交于．

（1）求證：；

（2）求證：是圓的切線；

（3）求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）2

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60°，根據(jù)作等量代換進(jìn)而可得，再結(jié)合∠BAC＝60°即可得證；

（2）過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，OA，先證≌，可得，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，再證得即可得證；

（3）連接，先證明，再根據(jù)可得，進(jìn)而可得答案．

（1）證明：是等邊三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60°，

∵，

，

，

，

，

∴；

（2）證明：如圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，OA，

是的中點(diǎn)，

∴由三角形中位線的性質(zhì)知，

∵，，

∴≌，

∴，

又∵，

∴，CF⊥，

∵∠ABC＝60°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，

∵OA＝OC，

∴，

∴，

∴，

∴是圓的切線；

（3）如圖，連接，

∵∠ABC＋∠AGC＝180°，∠CGF＋∠AGC＝180°，

∴，

∵CF⊥，

∴∠CFG＝90°，

∴

∵，

∴，，

∴，

∴，

在Rt△CGF中，，

∴，

∴