Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點，過點A的直線y=﹣x+4交拋物線于點C．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）在直線AC上有一動點E，當點E在某個位置時，使△BDE的周長最小，求此時E點坐標；
（3）當動點E在直線AC與拋物線圍成的封閉線A→C→B→D→A上運動時，是否存在使△BDE為直角三角形的情況，若存在，請直接寫出符合要求的E點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4

（2）

解：如圖1，

作點B關于直線AC的對稱點F，連接DF交AC于點E，

由（1）得，拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4①，

∴D（0，﹣4），

∵點C是直線y=﹣x+4②與拋物線的交點，

∴聯(lián)立①②解得， （舍）或 ，

∴C（﹣2，6），

∵A（4，0），

∴直線AC解析式為y=﹣x+4，

∵直線BF⊥AC，且B（﹣1，0），

∴直線BF解析式為y=x+1，

設點F（m，m+1），

∴G（ ， ），

∵點G在直線AC上，

∴﹣ ，

∴m=4，

∴F（4，5），

∵D（0，﹣4），

∴直線DF解析式為y= x﹣4，

∵直線AC解析式為y=﹣x+4，

∴直線DF和直線AC的交點E（ ， ）

（3）

解：∵BD= ，

由（2）有，點B到線段AC的距離為BG= BF= ×5 = ＞BD，

∴∠BED不可能是直角，

∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），

∴直線BD解析式為y=﹣4x+4，

∵△BDE為直角三角形，

∴①∠BDE=90°，

∴BE⊥BD交AC于B，

∴直線BE解析式為y= x+ ，

∵點E在直線AC：y=﹣x+4的圖象上，

∴E（3，1），

②∠BDE=90°，

∴BE⊥BD交AC于D，

∴直線BE的解析式為y= x﹣4，

∵點E在拋物線y=x2﹣3x﹣4上，

∴直線BE與拋物線的交點為（0，﹣4）和（ ，﹣ ），

∴E（ ，﹣ ），

即：滿足條件的點E的坐標為E（3，1）或（ ，﹣ ）

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先判斷出周長最小時BE⊥AC，即作點B關于直線AC的對稱點F，連接DF，交AC于點E，聯(lián)立方程組即可；（3）三角形BDE是直角三角形時，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，兩種情況，利用直線垂直求出點E坐標．此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，極值，對稱性，直角三角形的性質，解本題的關鍵是求函數圖象的交點坐標．