Question

如圖，線段AD＝5，⊙A的半徑為1，C為⊙A上一動點，CD的垂直平分線分別交CD，AD于點E，B，連接BC，AC，構成△ABC，設AB＝x．

(1)求x的取值范圍；

(2)若△ABC為直角三角形，則x＝________；

(3)設△ABC的面積的平方為W，求W的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由AD＝5，AB＝x，BE垂直平分CD，可得BC＝BD＝5－x，又由，⊙A的半徑為1，根據(jù)三角形三邊關系，即可求得x的取值范圍； 　　(2)分別從若AB是斜邊與BC是斜邊去分析，利用勾股定理的知識，借助于方程即可求得x的值； 　　(3)在△ABC中，作CF⊥AB于F，設CF＝h，AF＝m，則W＝(xh)2＝x2h2，由AC2－AF2＝BC2－BF2，則1－m2＝(5－x)2－(x－m)2，分別從2.4＜x＜3時與2＜x≤2.4去分析，即可求得答案． 　　解答：解：(1)∵AD＝5，AB＝x，BE垂直平分CD， 　　∴BC＝BD＝5－x，在△ABC中，AC＝1， 　　∴(5－x)－1＜x＜1＋(5－x)， 　　解得：2＜x＜3； 　　(2)∵△ABC為直角三角形， 　　若AB是斜邊，則AB2＝AC2＋BC2， 　　即x2＝(5－x)2＋1， 　　∴x＝2.6； 　　若BC是斜邊，則BC2＝AB2＋AC2， 　　即(5－x)2＝x2＋1， 　　∴x＝2.4． 　　故答案為：2.4或2.6． 　　(3)在△ABC中，作CF⊥AB于F，設CF＝h，AF＝m，則W＝(xh)2＝x2h2， 　　①如圖，當2.4＜x＜3時，AC2－AF2＝BC2－BF2，則1－m2＝(5－x)2－(x－m)2， 　　得：m＝， 　　∴h2＝1－m2＝， 　　∴W＝x2h2＝－6x2＋30x－36， 　　即W＝－6(x－)2＋， 　　當x＝2.5時(滿足2.4＜x＜3)，W取最大值1.5； 　�、诋�2＜x≤2.4時，同理可得：W＝－6x2＋30x－36＝－6(x－)2＋， 　　當x＝2.4時，W取最大值1.44＜1.5， 　　綜合①②得，W的最大值為1.5． 　　點評：此題考查了三角形三邊關系，線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質以及二次函數(shù)的最值問題等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數(shù)形結合與分類討論思想的應用．

提示：

考點：二次函數(shù)的最值；三角形三邊關系；線段垂直平分線的性質；勾股定理．