Question

【題目】△ABC內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠A＝60°，點D在AC上，連接BD作等邊三角形BDE，連接OE．

(1)如圖1，求證：OE＝AD；

(2)如圖2，連接CE，求證：∠OCE＝∠ABD；

(3)如圖3，在(2)的條件下，延長EO交⊙O于點G，在OG上取點F，使OF＝2OE，延長BD到點M使BD＝DM，連接MF，若tan∠BMF＝，OD＝3，求線段CE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)CE＝．

【解析】

(1)連接OB，證明△ABD≌△OBE，即可證出OE＝AD．

(2)連接OB，證明△OCE≌△OBE，則∠OCE＝∠OBE，由(1)的全等可知∠ABD＝∠OBE，則∠OCE＝∠ABD．

(3)過點M作AB的平行線交AC于點Q，過點D作DN垂直EG于點N，則△ADB≌△MQD，四邊形MQOG為平行四邊形，∠DMF＝∠EDN，再結合特殊角度和已知的線段長度求出CE的長度即可．

解：(1)如圖1所示，連接OB，

∵∠A＝60°，OA＝OB，

∴△AOB為等邊三角形，

∴OA＝OB＝AB，∠A＝∠ABO＝∠AOB＝60°，

∵△DBE為等邊三角形，

∴DB＝DE＝BE，∠DBE＝∠BDE＝∠DEB＝60°，

∴∠ABD＝∠OBE，

∴△ADB≌△OBE(SAS)，

∴OE＝AD；

(2)如圖2所示，

由(1)可知△ADB≌△OBE，

∴∠BOE＝∠A＝60°，∠ABD＝∠OBE，

∵∠BOA＝60°，

∴∠EOC＝∠BOE =60°，

又∵OB=OC，OE=OE，

∴△BOE≌△COE(SAS)，

∴∠OCE＝∠OBE，

∴∠OCE＝∠ABD；

(3)如圖3所示，過點M作AB的平行線交AC于點Q，過點D作DN垂直EG于點N，

∵BD＝DM，∠ADB＝∠QDM，∠QMD＝∠ABD，

∴△ADB≌△MQD(ASA)，

∴AB＝MQ，

∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝30°，

∴AB＝＝AO＝CO＝OG，

∴MQ＝OG，

∵AB∥GO，

∴MQ∥GO，

∴四邊形MQOG為平行四邊形，

設AD為x，則OE＝x，OF＝2x，

∵OD＝3，

∴OA＝OG＝3+x，GF＝3﹣x，

∵DQ＝AD＝x，

∴OQ＝MG＝3﹣x，

∴MG＝GF，

∵∠DOG＝60°，

∴∠MGF＝120°，

∴∠GMF＝∠GFM＝30°，

∵∠QMD＝∠ABD＝∠ODE，∠ODN＝30°，

∴∠DMF＝∠EDN，

∵OD＝3，

∴ON＝，DN＝，

∵tan∠BMF＝，

∴tan∠NDE＝，

∴ ，

解得x＝1，

∴NE＝，

∴DE＝，

∴CE＝．

故答案為(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)CE＝．