Question

【題目】如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y＝x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．

（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y＝x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；

（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)y＝ax2+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）．寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？．（本小題只需直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）正方形邊長為；（2）m＝1，y＝；（3）D坐標(biāo)為（﹣1，3）；y＝x2+ ；所求的任何拋物線的伴侶正方形個(gè)數(shù)為偶數(shù)．

【解析】

此題較為新穎，特別要注意審題和分析題意，耐心把題讀完，知A、B為坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)，C、D為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)：（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)從而計(jì)算正方形的邊長，注意思維的嚴(yán)密性．
（2）因?yàn)?/span>ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點(diǎn)D（2，m）的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)從而求解．
（3）注意思維的嚴(yán)密性，拋物線開口既可能向上，也可能向下．當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，正方形的另一個(gè)頂點(diǎn)也是在拋物線上，這個(gè)點(diǎn)既可能在點(diǎn)（3，4）的左邊，也可能在點(diǎn)（3，4）的右邊，過點(diǎn)（3，4）向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)拋物線開口向下時(shí)也是一樣地分為兩種情況來討論．

（1）∵正方形ABCD是一次函數(shù)y＝x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．

當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸、點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，

∴AO＝1，BO＝1，

∴正方形ABCD的邊長為

當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，得3a＝

∴a= ,所以正方形邊長為 ；

（2）作DE、CF分別垂直于x、y軸，

知△ADE≌△BAO≌△CBF，此時(shí)，m＜2，DE＝OA＝BF＝m，OB＝CF＝AE＝2﹣m

∴OF＝BF+OB＝2

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣m，2）

∴2m＝2（2﹣m）

解得m＝1，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝ ；

（3）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

過C作CF⊥x軸，垂足為F，過D作DE⊥CF，垂足為E，

∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，

∵C（3，4），即CF＝4，OF＝3，

∴EG＝3，DE＝4，故DG＝DE﹣GE＝DE﹣OF＝4﹣3＝1，則D坐標(biāo)為（﹣1，3）；設(shè)過D與C的拋物線的解析式為：y＝ax2+b，

把D和C的坐標(biāo)代入得： ，

解得 ，

∴滿足題意的拋物線的解析式為y＝x2+；

同理可得D的坐標(biāo)可以為：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），對(duì)應(yīng)的拋物線分別為y=x2+；y=x2+；y=x2+，所求的任何拋物線的伴侶正方形個(gè)數(shù)為偶數(shù)．