Question

【題目】如圖，以正方形ABCD的邊AB為直徑作⊙O，E是⊙O上的一點，EF⊥AB于F，AF＞BF，作直線DE交BC于點G．若正方形的邊長為10，EF=4．

（1）分別求AF、BF的長．

（2）求證：DG是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）BF=2，AF=8（2）證明見解析

【解析】

（1）已知直徑易知半徑．連接OE，在Rt△OEF中運用勾股定理求OF，再求AF，BF；

（2）欲證DG為切線，則證OE⊥DG．連接OD，證明△OAD≌△OED即可．已有兩邊對應相等，只需證明DE＝AD．為此作EH⊥AD于H，運用勾股定理可證．

（1）連接OE，

∵正方形邊長為10，AB是直徑，

∴OB=OE=5．

∵EF⊥AB，EF=4，

∴OF==3，

∴BF=2，AF=8；

（2）連接OD，作EH⊥AD于H點．

∵四邊形AFED為直角梯形，

∴EH=AF=8，HD=10﹣4=6．

∴DE==10．

∴AD=DE．

又OA=OE，OD公共邊，

∴△OAD≌△OED，

∴∠OED=∠OAD=90°，

∴DG是⊙O的切線．