Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，4)，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)D9(m，0)（0＜m＜4），過點(diǎn)D作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)E，

（1）直接寫出拋物線和直線AB的函數(shù)表達(dá)式．

（2）當(dāng)點(diǎn)C是DE的中點(diǎn)時(shí)，求出m的值，并判定四邊形ODEB的形狀（不要求證明）．

（3）在（2）的條件下，將線段OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OD′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜a＜90°），連接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；y＝﹣x+4；（2）m＝2，四邊形ODEB為矩形；（3）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式和直線AB的解析式即可；

（2）可得E（m，），C（m，﹣m+4）．表示出EC的長(zhǎng)，根據(jù)EC＝CD可得出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值即可；

（3）在y軸上取一點(diǎn)M′使得OM′＝1，連接AM′，在AM′上取一點(diǎn)D′使得OD′＝OD．證明△M′OD′∽△D′OB，即可求解．

（1）將點(diǎn)B、A的坐標(biāo)代入拋物線y＝﹣x2+bx+c得，

，

解得：，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣．

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4；

（2）∵過點(diǎn)D（m，0）（0＜m＜4）作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)E，

∴E（m，），C（m，﹣m+4）．

∴EC＝＝．

∵點(diǎn)C是DE的中點(diǎn)，

∴．

解得：m＝2，m＝4（舍去）．

∴ED＝OB＝4，

∴四邊形ODEB為矩形．

（3）如圖，由（2）可知D（2，0），在y軸上 取一點(diǎn)M′使得OM′＝1，連接AM′，在AM′上取一點(diǎn)D′使得OD′＝OD．

∵OD′＝2，OM′OB＝1×4＝4，

∴OD′2＝OM′OB，

∴，

∵∠BOD′＝∠M′OD′，

∴△M′OD′∽△D′OB，

∴．

∴．

∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此時(shí)D′A+D′B最�。▋牲c(diǎn)間線段最短，A、M′、D′共線時(shí)），

∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．