Question

【題目】綜合與實踐

背景閱讀：旋轉(zhuǎn)就是將圖形上的每一點在平面內(nèi)繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中“旋”是過程，“轉(zhuǎn)”是結(jié)果．旋轉(zhuǎn)作為圖形變換的一種，具備圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形是全等圖形等性質(zhì)．所以充分運用這些性質(zhì)是在解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的關(guān)健．

實踐操作：如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

問題解決：（1）①當α＝0°時，＝　 　；②當α＝180°時，＝　 　．

（2）試判斷：當0°≤a＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

問題再探：（3）當△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點共線時，求得線段BD的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）無變化，證明見解析；（3）6或．

【解析】

問題解決：（1）①根據(jù)三角形中位線定理可得：BD=CDBC=6，AE=CEAC=3，即可求出的值；

②先求出BD，AE的長，即可求出的值；

（2）證明△ECA∽△DCB，可得；

問題再探：（3）分兩種情況討論，由矩形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可求BD的長．

問題解決：

（1）①當α=0°時．

∵BC=2AB=12，

∴AB=6，

∴AC6，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴BD=CDBC=6，AE=CEAC=3，DEAB，

∴．

故答案為：；

②如圖1．

，

當α=180°時．

∵將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，

∴CD=6，CE=3，

∴AE=AC+CE=9，BD=BC+CD=18，

∴．

故答案為：．

（2）如圖2，

，

當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化．證明如下：

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

問題再探：

（3）分兩種情況討論：

①如圖3．

．

∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，

∴AD12．

∵AD=BC，AB=DC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∵∠B=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴BD=AC=6

②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P．

∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，

∴AD12．

在Rt△CDE中，DE==3，

∴AE=AD﹣DE=12﹣3=9，

由（2）可得：，

∴BD．

綜上所述：BD=6或．

故答案為：6或．