Question

21、（1）現(xiàn)有一個19°的“模板”（圖），請你設(shè)計一種辦法，只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來．
（2）現(xiàn)有一個17°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上面畫出一個1°的角來？
（3）用一個21°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1°的角來？
對（2）、（3）兩問，如果能，請你簡述畫法步驟，如果不能，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）在平面上取一點O，過O點畫一條直線AOB，以19°模板頂點與O重合，一邊與OB射線重合，另一邊落在射線OB₁，仍以O(shè)為頂點，角一邊重合于OB₁，另一邊落在射線OB₂，這樣做出19個19°的角，其總和為361°，即可求解．
（2）利用17°角的模板，要畫出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n，使得17×m-180×n=1．
（3）利用21°角的模板，要畫出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n，使得21×m-180×n=1．

解答：解：（1）在平面上取一點O，過O點畫一條直線AOB，以19°模板頂點與O重合，一邊與OB射線重合，另一邊落在射線OB₁，仍以O(shè)為頂點，角一邊重合于OB₁，另一邊落在射線OB₂，這樣做出19個19°的角，其總和為361°，
∠BOB₁₉就是1°角；

（2）利用17°角的模板，要畫出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n，使得17×m-180×n=1．
事實上17×53-180×5=901-900=1．
所以做法如下：
在平面上任取一點O，過O點畫直線AOB，以O(shè)B為始邊．O為頂點，反時針方向依次畫53個17°的角，設(shè)最后的終邊為OB₅₃，而5×180°的終邊在OA射線，這時∠AOB₅₃即為1°的角；

（3）若用21°的模板可以畫出1°的角，則存在整數(shù)m，n，使得
21°×m-180°×n=1°，此時我們發(fā)現(xiàn)，這樣的m，n不存在，因此，用21°角的模板和鉛筆不能畫出1°角來．

點評：本題考查了角的計算，難度較大，關(guān)鍵是找到符合題意的整數(shù)m和n．