Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+1與拋物線y＝x2+bx+c交于A，B（4，5）兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A，B除外），過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠PEF＝90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2-2x-3；（2）E（，）；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1-，）或（1+，）．

【解析】

（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于b、c的方程組，從而可求得b、c的值；

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x+1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（x，x2-2x-3），則可得到EF與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求得EF的最大值以及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)E作PE⊥EF，交拋物線與點(diǎn)P或點(diǎn)P′，則yp=，將y=代入拋物線的解析式得：x2-2x-3=，然后可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

（1）把y=0代入y=x+1得：x+1=0，解得：x=-1，

∴點(diǎn)A（-1，0）．

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：

，

解得：b=-2，c=-3．

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3．

（2）如圖1所示：

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x+1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（x，x2-2x-3）．

設(shè)EF=（x+1）-（x2-2x-3）=-x2+3x+4=-（x-）2+．

∴當(dāng)x=時(shí)，EF有最大值．

將x=代入y=x+1得：y=．

∴E（，）．

（3）如圖2所示：過點(diǎn)E作PE⊥EF，交拋物線與點(diǎn)P或點(diǎn)P′，則yp=．

將y=代入拋物線的解析式得：x2-2x-3=，解得：x=1+，x=1-．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1-，）或（1+，）．