Question

【題目】如圖1所示，在△ABC中，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，連接AM、AN．

（1）求證：△AMN的周長＝BC；

（2）若AB＝AC，∠BAC＝120°，試判斷△AMN的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）若∠C＝45°，AC＝3，BC＝9，如圖2所示，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△AMN是等邊三角形，見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，NA＝CA，根據(jù)三角形的周長公式證明結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到∠B＝∠C＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、等邊三角形的判定定理證明；

（3）證明ANM＝90°，根據(jù)勾股定理求出AN、NC，根據(jù)勾股定理列式計算得到答案．

（1）證明：∵EM是AB的垂直平分線，

∴EA＝EB，

同理，NA＝CA，

∴△AMN的周長＝MA+MN+NA＝MB+MN+NC＝BC；

（2）解：△AMN是等邊三角形，

理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵EA＝EB，

∴∠MAB＝∠B＝30°，

∴∠AMN＝∠MAB+∠B＝60°，

同理可得，∠ANM＝60°，

∴△AMN是等邊三角形；

（3）解：∵NC＝NA，

∴∠NAC＝∠C＝45°，

∴∠ANM＝∠ANC＝90°，

設NC＝NA＝x，

由勾股定理得，NA2+NC2＝AC2，即x2+x2＝（3）2，

解得，x＝3，即NC＝NA，

∴MB＝MA＝6﹣MN，

在Rt△AMN中，NA2+MN2＝AM2，即32+MN2＝（6﹣MN）2，

解得，MN＝．