Question

【題目】如圖1，點A、D是拋物線上兩動點，點B、C在x軸上，且四邊形ABCD是矩形，點E是拋物線與y軸的交點，連接BE交AD于點F，AD與y軸的交點為點G．設點A的橫坐標為a(0<a<1).

(1) 若矩形ABCD的周長為3.5，求a的值；

(2) 求證：不論點A如何運動，∠EAD＝∠ABE；

(3) 若△ABE是等腰三角形，

①求點A的坐標；

②如圖2，若將直線BA繞點B按逆時針方向旋轉至直線l，設點A、C到直線l的距離分別為、，求的最大值.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1)a=0.5；(2) 見解析； (3)( ， )

【解析】試題分析：（1）由題意y軸是拋物線的對稱軸，也是矩形ABCD的對稱軸，根據(jù)矩形的周長列出方程即可解決問題；
（2）如圖1中，首先構建二次函數(shù)證明再證明四點共圓，即可解決問題；
（3）①觀察圖形可知當是等腰三角形時，只有在中，根據(jù) 可得求出即可解決問題．
②如圖3中，過點A作AM∥直線， 直線于， 直線于，延長 交于．則四邊形是矩形，由推出 欲求的最大值，只要求的最大值即可，點與點重合時的值最大.

試題解析：（1）由題意軸是拋物線的對稱軸，也是矩形ABCD的對稱軸，
∴關于軸對稱，


由題意
解得或（舍去），

（2）如圖1中，


∴直線EB的解析式為

直線DE的解析式為

設BD交OE于P，
∵PG∥AB，


四點共圓，

= ,

（3）觀察圖形可知當是等腰三角形時，只有

在中，

解得或（舍棄），
∴點

②如圖3中，過點A作AM∥直線， 直線于， 直線于，延長 交于．則四邊形是矩形，



欲求的最大值，只要求的最大值即可，
在中，
∴當點與點重合時的值最大，此時
的最大值