Question

17．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知第一象限內的點A在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，第二象限內的點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，連接OA、OB，若OA⊥OB，OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA，則k的值為（　�。�

• A． 1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -1
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BC⊥x軸于點C，如圖，設點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（c，d），可得ab=1，OD=a，AD=b，k=cd，OC=-c，BC=d．易證△OCB∽△ADO，利用相似三角形的性質可得OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD，則有-c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，從而可求出k的值．

解答 解：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BC⊥x軸于點C，
則有∠ADO=∠OCB=90°．
設點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（c，d），
∵第一象限的點A在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴ab=2，a＞0，b＞0，
∴OD=a，AD=b．
∵第二象限內的點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=cd，c＜0，d＞0，
∴OC=-c，BC=d．
∵OA丄OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠DOA=90°-∠COB=∠CBO，
∴△OCB∽△ADO，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{BC}{OD}$=$\frac{OB}{OA}$．
∵OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD，
∴-c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴k=cd=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=-$\frac{1}{2}$ab=-$\frac{1}{2}$×2=-1，
∴k=-1，
故選：C．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)的坐標特征、相似三角形的判定與性質，構造K型相似是解決本題的關鍵．