Question

【題目】（1）如圖1，已知△ABC中AB=AC，∠BAC=36°，BD是角平分線，求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；

（2）如圖2，正五邊形的邊長(zhǎng)為2，連結(jié)對(duì)角線AD、BE、CE，線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)M、N，求MN的長(zhǎng)；

（3）設(shè)⊙O的半徑為r，直接寫(xiě)出它的內(nèi)接正十邊形的長(zhǎng)=_________________（用r的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再通過(guò)證明可得，即，即可證明點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；

（2）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求得，，根據(jù)相似比，即可求出MN的長(zhǎng)；

（3）設(shè)AB是圓內(nèi)接正十邊形的邊長(zhǎng)，連接OA、OB，作∠OAB的角平分線交OB于C，通過(guò)證明得出比例式，即可求出答案．

（1）∵AB=AC，∠BAC=36°

∴

∵BD是的角平分線

∴

∴

∴

∴

∴，

∴

∴

∴

∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．

（2）∵

∴

∴，

∴，

∴，

∴

∴，

∴

∴

∴

∴

∴

解得或（舍去）

故MN的長(zhǎng)為．

（3）設(shè)AB是圓內(nèi)接正十邊形的邊長(zhǎng)，連接OA、OB，作∠OAB的角平分線交OB于C

則，，

∴

∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

解得或（舍去）

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，所以根成立

故．