Question

如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E．

（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明；

（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說明理由．

Answer 1

【考點】翻折變換（折疊問題）；直角三角形全等的判定；矩形的性質(zhì)．

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)知，CB′=BC=AD，∠B=∠B′=∠D=90°，∠B′EC=DEA，則由AAS得到△AED≌△CEB′；

（2）延長HP交AB于M，則PM⊥AB，PG=PM，PG+PH=HM=AD，∵CE=AE=CD﹣DE=8﹣3=5在Rt△ADE中，由勾股定理得到AD=4，∴PG+PH=HM=AD=4．

【解答】解：（1）△AED≌△CEB′

證明：∵四邊形ABCD為矩形，

∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，

又∵∠B′EC=∠DEA，

∴△AED≌△CEB′；

（2）由折疊的性質(zhì)可知，∠EAC=∠CAB，

∵CD∥AB，

∴∠CAB=∠ECA，

∴∠EAC=∠ECA，

∴AE=EC=8﹣3=5．

在△ADE中，AD===4，

延長HP交AB于M，則PM⊥AB，

∴PG=PM．

∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．