Question

【題目】（問題引領）

問題1：如圖1，在四邊形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°．E，F分別是AB，AD上的點．且∠ECF=60°．探究圖中線段BE，EF，FD之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)CG，先證明△CBE≌△CDG，再證明△CEF≌△CGF．他得出的正確結(jié)論是 ．

（探究思考）

問題2：如圖2，若將問題1的條件改為：四邊形ABCD中，CB=CD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ECF=∠BCD，問題1的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

（拓展延伸）

問題3：如圖3，在問題2的條件下，若點E在AB的延長線上，點F在DA的延長線上，若BE=2，DF=8，求EF的長（請直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF；（2）問題1中結(jié)論仍然成立,理由見解析；（3）6.

【解析】

由△CEF≌△CGF可知CE=CG，由∠ECF=60°，∠BCD=120°可證∠FCG=60°，從而可知△ECF≌△FCG，得出EF=GF，從而得出EF=BE+DF；同理可得出（2）（3）答案

（1）EF=BE+DF，理由：

延長FD到點G,使DG=BE,連接CG，

在△CBE與△CDG中

∴△CBE≌△CDG（SAS），

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∵∠BCD=120°，

∴∠ECG=120°

∵∠ECF=60°，

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE

（2）解：問題1中結(jié)論仍然成立,如圖,

理由：延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)CG，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠GDC,在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∴∠BCD=∠ECG，

∵∠ECF=∠BCD

∴∠ECF=∠ECG

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE

（3）EF=6，因為此時DF=EF+BE；理由：如圖3，

延長FD到點G，使DG=BE，連接CG，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠GDC，在△CBE和△CDG中∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∴∠BCD=∠ECG，

∵∠ECF=∠BCD

∴∠ECF=∠ECG

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE