Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC為直徑的⊙O交AB于D，AC、DO的延長線交于E，點M為線段AC上一點，且CM=4．
（1）求證：直線DM是圓O的切線．
（2）求tan∠E的值．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結CD，如圖，先利用勾股定理計算出AC=8，則CM=AM=4，再根據(jù)圓周角定理得到∠BDC=90°，則可判斷DM為Rt△ADC斜邊上的中線，所以DM=CM=4，根據(jù)等腰三角形的性質得∠1=∠2，加上∠3=∠4，則∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODM=90°，然后根據(jù)切線得判定定理即可得到直線DM是圓O的切線；
（2）先證明Rt△EOD∽Rt△EMD，利用相似比可得到OE=

4

3

EC-3，再在Rt△EOC中利用勾股定理得到3²+EC²=（

4

3

EC-3）²，解得EC=

9

2

，然后利用正切的定義求解．

解答：（1）證明：連結CD，如圖，
∵∠ACB=90°，BC=6，AB=10，
∴AC=

AB2-BC2

=8，
∵CM=4，
∴CM=AM=4，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∴DM為Rt△ADC斜邊上的中線，
∴DM=CM=4，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OCM=∠ODM，
而∠OCM=90°，
∴∠ODM=90°，
∴OD⊥DM，
∴直線DM是圓O的切線；
（2）解：∵∠OEC=∠MED，
∴Rt△EOD∽Rt△EMD，
∴

EC

ED

=

OC

DM

，即

EC

3+OE

=

3

4

，
∴OE=

4

3

EC-3，
在Rt△EOC中，∵OC²+EC²=OE²，
∴3²+EC²=（

4

3

EC-3）²，
解得EC=

9

2

，
∴tanE=

OC

EC

=

3

9 2

=

2

3

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質．