Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A (-4,-2)，將點(diǎn)A向右平移6個單位長度，得到點(diǎn)B.

（1）若拋物線y＝-x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A,B，求此時拋物線的表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下的拋物線頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)（不與B，C重合），是否存在點(diǎn)D，使△ABC和以點(diǎn)A,B,D構(gòu)成的三角形相似？若存在，請求出此時D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若拋物線y＝-x2＋bx＋c的頂點(diǎn)在直線y＝x＋2上移動，當(dāng)拋物線與線段有且只有一個公共點(diǎn)時，求拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x2-2x＋6；（2）存在，D (,)；（3）-4≤t＜-3或0＜t≤5．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合線段AB的長度，可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）由拋物線解析式，求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而求出直線BC解析式，設(shè)D (d,-3d+4)，

根據(jù)已知可知AD=AB=6時，△ABC∽△BAD，從而列出關(guān)于d的方程，解方程即可求解；

（3）將拋物線的表達(dá)式變形為頂點(diǎn)時，依此代入點(diǎn)A，B的坐標(biāo)求出t的值，再結(jié)合圖形即可得出：當(dāng)拋物線與線段AB有且只有一個公共點(diǎn)時t的取值范圍．

（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，-2），將點(diǎn)A向右平移6個單位長度得到點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-2）．

∵拋物線y＝-x2+bx＋c過點(diǎn)，

∴, 解得

∴拋物線表達(dá)式為y＝-x2-2x＋6

（2）存在.

如圖

由（1）得，y＝-x2-2x＋6＝-(x+1)2＋7，

∴C (-1,7)

設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋b

∴解之得，

∴lBC：y＝-3x＋4

設(shè)D (d,-3d+4)，

∵在△ABC中AC=BC

∴當(dāng)且僅當(dāng)AD=AB=6時，兩三角形相似

即(-4-d)2+(-2+3d-4)2=36時，△ABC∽△BAD，

解之得，d1=、d2=2(舍去)

∴存在點(diǎn)D，使△ABC和以點(diǎn)A,B,D構(gòu)成的三角形相似，此時點(diǎn)D (,)；

（3）如圖：

拋物線y＝-x2+bx＋c頂點(diǎn)在直線上

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為

∴拋物線表達(dá)式可化為．

把代入表達(dá)式可得

解得．

又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點(diǎn)，

∴-4≤t＜-3．

把代入表達(dá)式可得．

解得，

又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點(diǎn)，

∴0＜t≤5．

綜上可知的取值范圍時-4≤t＜-3或0＜t≤5．