Question

【題目】如圖，AB是O的直徑，AB＝4，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)D，則線(xiàn)段CD的最大值為（ ）

A.2B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

取OA的中點(diǎn)Q，連接DQ，OD，CQ，根據(jù)條件可求得CQ長(zhǎng)，再由垂徑定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半求得QD長(zhǎng)，根據(jù)當(dāng)C,Q,D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CD長(zhǎng)最大求解.

解：如圖，取AO的中點(diǎn)Q,連接CQ，QD，OD，

∵C為的三等分點(diǎn)，

∴的度數(shù)為60°，

∴∠AOC=60°,

∵OA=OC,

∴△AOC為等邊三角形，

∵Q為OA的中點(diǎn)，

∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,

∴OQ= ,

由勾股定理可得，CQ= ,

∵D為AP的中點(diǎn),

∴OD⊥AP，

∵Q為OA的中點(diǎn)，

∴DQ= ,

∴當(dāng)D點(diǎn)CQ的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，即點(diǎn)C,Q,D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CD長(zhǎng)最大，最大值為 .

故選D