Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，若P，Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”，如圖為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”示意圖．
（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），求點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積；
②點(diǎn)C在直線x=3上，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達(dá)式；
（2）⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，3），若在⊙O上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①由相關(guān)矩形的定義可知：要求A與B的相關(guān)矩形面積，則AB必為對角線，利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出該矩形的底與高的長度，進(jìn)而可求出該矩形的面積；
②由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45，設(shè)直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；
（2）由定義可知，MN必為相關(guān)矩形的對角線，若該相關(guān)矩形的為正方形，即直線MN與x軸的夾角為45°，由因?yàn)辄c(diǎn)N在圓O上，所以該直線MN與圓O一定要有交點(diǎn)，由此可以求出m的范圍．

解答 解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）
由定義可知：點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的底與高分別為2和1，
∴點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積為2×1=2；
②由定義可知：AC是點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”的對角線，
又∵點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形
∴直線AC與x軸的夾角為45°，
設(shè)直線AC的解析為：y=x+m或y=-x+n
把（1，0）分別y=x+m，
∴m=-1，
∴直線AC的解析為：y=x-1，
把（1，0）代入y=-x+n，
∴n=1，
∴y=-x+1，
綜上所述，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，直線AC的表達(dá)式為y=x-1或y=-x+1；
（2）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，
∴由定義可知：直線MN與x軸的夾角為45°，
∴k=±1，
∵點(diǎn)N在⊙O上，
∴當(dāng)直線MN與⊙O有交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，
當(dāng)k=1時(shí)，
作⊙O的切線AD和BC，且與直線MN平行，
其中A、C為⊙O的切點(diǎn)，直線AD與y軸交于點(diǎn)D，直線BC與y軸交于點(diǎn)B，
連接OA，OC，
把M（m，3）代入y=x+b，
∴b=3-m，
∴直線MN的解析式為：y=x+3-m
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，
∴OD=$\sqrt{2}$OA=2，
∴D（0，2）
同理可得：B（0，-2），
∴令x=0代入y=x+3-m，
∴y=3-m，
∴-2≤3-m≤2，
∴1≤m≤5，
當(dāng)k=-1時(shí)，把M（m，3）代入y=-x+b，
∴b=3+m，
∴直線MN的解析式為：y=-x+3+m，
同理可得：-2≤3+m≤2，
∴-5≤m≤-1；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形時(shí)，m的取值范圍是：1≤m≤5或-5≤m≤-1

點(diǎn)評 本題考查新定義問題，涉及圓的切線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答本題需要我們理解相關(guān)矩形的定義，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將新舊知識貫穿起來．