Question

【題目】將一個直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標系中，點 ，點B（0，1），點O（0，0）．P是邊AB上的一點（點P不與點A，B重合），沿著OP折疊該紙片，得點A的對應點A'．
（1）如圖①，當點A'在第一象限，且滿足A'B⊥OB時，求點A'的坐標；

（2）如圖②，當P為AB中點時，求A'B的長；

（3）當∠BPA'=30°時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點 ，點B（0，1），

∴OA= ，OB=1，

由折疊的性質得：OA'=OA= ，

∵A'B⊥OB，

∴∠A'BO=90°，

在Rt△A'OB中，A'B= = ，

∴點A'的坐標為（ ，1）；

（2）

解：在Rt△ABO中，OA= ，OB=1，

∴AB= =2，

∵P是AB的中點，

∴AP=BP=1，OP= AB=1，

∴OB=OP=BP

∴△BOP是等邊三角形，

∴∠BOP=∠BPO=60°，

∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°，

由折疊的性質得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，

∴∠BOP+∠OPA'=180°，

∴OB∥PA'，

又∵OB=PA'=1，

∴四邊形OPA'B是平行四邊形，

∴A'B=OP=1；

（3）

解：設P（x，y），分兩種情況：

①如圖③所示：點A'在y軸上，

在△OPA'和△OPA中， ，

∴△OPA'≌△OPA（SSS），

∴∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，

∴點P在∠AOB的平分線上，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把點 ，點B（0，1）代入得： ，

解得： ，

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+1，

∵P（x，y），

∴x=﹣ x+1，

解得：x= ，

∴P（ ， ）；

②如圖④所示：

由折疊的性質得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，

∵∠BPA'=30°，

∴∠A'=∠A=∠BPA'，

∴OA'∥AP，PA'∥OA，

∴四邊形OAPA'是菱形，

∴PA=OA= ，作PM⊥OA于M，如圖④所示：

∵∠A=30°，

∴PM= PA= ，

把y= 代入y=﹣ x+1得： =﹣ x+1，

解得：x= ，

∴P（ ， ）；

綜上所述：當∠BPA'=30°時，點P的坐標為（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）由點A和B的坐標得出OA= ，OB=1，由折疊的性質得：OA'=OA= ，由勾股定理求出A'B= = ，即可得出點A'的坐標為（ ，1）；（2）由勾股定理求出AB= =2，證出OB=OP=BP，得出△BOP是等邊三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折疊的性質得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，證出OB∥PA'，得出四邊形OPA'B是平行四邊形，即可得出A'B=OP=1；（3）分兩種情況：①點A'在y軸上，由SSS證明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，得出點P在∠AOB的平分線上，由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=﹣ x+1，即可得出點P的坐標；②由折疊的性質得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四邊形OAPA'是菱形，得出PA=OA= ，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性質求出PM= PA= ，把y= 代入y=﹣ x+1求出點P的縱坐標即可．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和翻折變換（折疊問題）的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．