Question

過反比例函數圖象上一點P₀（1，2ⁿ）作圖象的切線（與圖象只有一個交點的直線），交x軸于點A₁，過A₁作x軸的垂線交反比例函數圖象于點P₁，過點P₁作圖象的切線交x軸于點A₂，過A₂作x軸的垂線交反比例函數圖象于點P₂，以此類推，可以找到無數個P點．
（1）當n=5時，屬于整點（橫縱坐標均為整數的點的點P有

 

個；
（2）當n=2011時，屬于整點的點P有

 

個，最后一個整點P的坐標是

 

．

Answer 1

分析：（1）當n=5時，可知點P₀的坐標為（1，2⁵），并由此求出函數的解析式，找到橫縱坐標乘積等于2⁵的點的坐標即可；
（2）當n=2011時，此時可知點P₀的坐標為（1，2²⁰¹¹），并由此求出函數的解析式，找到橫縱坐標乘積等于2²⁰¹¹的點的坐標即可；

解答：解：（1）當n=5時P₀的坐標為（1，2⁵），
∴反比例函數的解析式為：y=

25

x

，
∴屬于整點的點的坐標為：（1，2⁵）、（2，2⁴）、（2²，2³）、（2³，2²）、（2⁴，2）、（2⁵，1）六個，
∴當n=5時，屬于整點（橫縱坐標均為整數的點的點P有6個；

（2）當n=2011時P₀的坐標為（1，2²⁰¹¹），
∴反比例函數的解析式為：y=

22011

x

，
∴屬于整點的點的坐標為：（1，2²⁰¹¹）、（2，2²⁰¹⁰）、（2²，2²⁰⁰⁹）…（2²⁰⁰⁹，2²）、（2²⁰¹⁰，2）、（2²⁰¹¹，1）2012個，
∴當n=2011時，屬于整點（橫縱坐標均為整數的點的點P有2012個，最后一個點的坐標為（2²⁰¹¹，1）．

點評：本題考查了反比例函數的知識，解題的關鍵是根據n的取值確定函數的解析式，為確定整點坐標奠定基礎．