Question

設(shè)x是實數(shù)，y=|x-1|+|x+1|．下列四個結(jié)論：
Ⅰ．y沒有最小值；
Ⅱ．只有一個x使y取到最小值；
Ⅲ．有有限多個x（不止一個）使y取到最大值；
Ⅳ．有無窮多個x使y取到最小值．
其中正確的是（　�。�

A、Ⅰ

B、Ⅱ

C、Ⅲ

D、Ⅳ

Answer 1

分析：|x|的幾何意義是表示數(shù)軸上點x到原點的距離．類似地可知，|x-a|的幾何意義是表示數(shù)軸上點x到點a的距離．所以原問題可轉(zhuǎn)化為求x取哪些值時，數(shù)軸上點x到點1與點-1的距離之和為最�。�

解答：解：從數(shù)軸上可知，區(qū)間[-1，1]上的任一點x到點1與點-1的距離之和均為2；區(qū)間[-1，1]之外的點x 到點1與點-1的距離之和均大于2．
所以函數(shù)y=|x-1|+|x+1|當(dāng)-1≤x≤1時，取得最小值2．
Ⅰ、y在區(qū)間[-1，1]上取得最小值2；故本選項錯誤；
Ⅱ、y在區(qū)間[-1，1]上的任一點x到點1與點-1的距離之和均為2；故本選項錯誤；
Ⅲ、y在區(qū)間[-1，1]之外的點x 到點1與點-1的距離之和均大于2，且無限大，所以y在區(qū)間[-1，1]之外的點沒有最大值；故本選項錯誤；
Ⅳ、y在區(qū)間[-1，1]上的任一點x到點1與點-1的距離之和均為最小值2，所以有無窮多個x使y取到最小值．故本選項正確；
故選D．

點評：本題考查了函數(shù)最值問題．解題時，利用了絕對值的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，常常會得到妙解．