Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=2，且OA=OC．有下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為﹣，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（　�。�

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

由二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸及與y軸的交點(diǎn)可分別判斷出a、b、c的符號(hào)，從而可判斷①；由對(duì)稱軸=2可知a=，由圖象可知當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，可判斷②；由OA=OC，且OA＜1，可判斷③；把-代入方程整理可得ac2-bc+c=0，結(jié)合③可判斷④；從而可得出答案．

解：∵圖象開口向下，∴a＜0，

∵對(duì)稱軸為直線x=2，∴＞0，∴b＞0，

∵與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，∴c＜0，

∴abc＞0，故①錯(cuò)誤.

∵對(duì)稱軸為直線x=2，∴=2，∴a=，

∵由圖象可知當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，

∴a+b+c＞0，∴4a+4b+4c>0，∴4()+4b+4c>0，

∴3b+4c>0，故②錯(cuò)誤.

∵由圖象可知OA＜1，且OA=OC，

∴OC＜1，即-c＜1，

∴c＞-1，故③正確.

∵假設(shè)方程的一個(gè)根為x=-，把x=-代入方程可得+c=0，

整理可得ac-b+1=0，

兩邊同時(shí)乘c可得ac2-bc+c=0，

∴方程有一個(gè)根為x=-c，

由③可知-c=OA，而當(dāng)x=OA是方程的根，

∴x=-c是方程的根，即假設(shè)成立，故④正確.

綜上可知正確的結(jié)論有三個(gè)：③④.

故選B.