Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，PR＝PS，則下列結(jié)論：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正確的有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得AP平分∠BAC，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)判斷出①正確；根據(jù)HL證明Rt△APR≌Rt△APS，即可判斷②正確；根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APQ=∠PAQ，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到然后得到∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行可得QP∥AB，從而判斷出③正確，④由③易證△QPC是等邊三角形，得到PQ=PC，等量代換得到BP=PQ，用HL證明Rt△BRP≌Rt△QSP，即可得到④正確．

∵△ABC是等邊三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分線上．

∵AB=AC，∴AP⊥BC，故①正確；

∵PA=PA，PR=PS，∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AS=AR，故②正確；

∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正確；

由③得：△PQC是等邊三角形，∴△PQS≌△PCS，∴PQ=PC．

又∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC，∴BP=PQ．

∵PR=PS，∴Rt△BRP≌Rt△QSP，故④也正確．

∵①②③④都正確．

故選D．