Question

【題目】已知：AB是⊙O的直徑，點P在線段AB的延長線上，BP=OB=2，點Q在⊙O上，連接PQ．

（1）如圖①，線段PQ所在的直線與⊙O相切，求線段PQ的長；

（2）如圖②，線段PQ與⊙O還有一個公共點C，且PC=CQ，連接OQ，AC交于點D．

①判斷OQ與AC的位置關(guān)系，并說明理由；

②求線段PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①OQ⊥AC，理由見試題解析；②．

【解析】試題分析：（1）如圖①，連接OQ．利用切線的性質(zhì)和勾股定理來求PQ的長度；

（2）如圖②，連接BC．由三角形中位線得到BC∥OQ．利用圓周角定理得到BC⊥AC，故OQ⊥AC；

（3）利用割線定理來求PQ的長度．

試題解析：（1）如圖①，連接OQ．∵線段PQ所在的直線與⊙O相切，點Q在⊙O上，∴OQ⊥OP．又∵BP=OB=OQ=2，∴PQ===，即PQ=；

（2）OQ⊥AC．理由如下：如圖②，連接BC．∵BP=OB，∴點B是OP的中點，又∵PC=CQ，∴點C是PQ的中點，∴BC是△PQO的中位線，∴BC∥OQ．又∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OQ⊥AC；

（3）如圖②，PCPQ=PBPA，即=2×6，解得PQ=．