Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，若∠BAC=30°，且∠ECF=∠E．

（1）試判斷CF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）設⊙O的半徑為2，且AC=CE，求AM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3﹣.

【解析】

（1）要證CF為⊙O的切線，只要證明∠OCF=90°即可；

（2）根據(jù)三角函數(shù)求得AC的長，從而可求得BE的長，再利用三角函數(shù)可求出MB的值，從而可得到MO的長，進而得出AM．

（1）證明：如圖，連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°；

在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，

∴∠E=30°；

∵∠E=∠ECF，

∴∠ECF=30°，

∴∠ECF+∠OCB=90°；

∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，

∴∠OCF=90°，

∴CF為⊙O的切線；

（2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，

∴AC=ABcos30°=2，BC=ABsin30°=2；

∵AC=CE，

∴BE=BC+CE=2+2，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，

∴MB=BEsin30°=1+，

∴MO=MB﹣OB=-1．

∴AM=2﹣+1=3﹣.