Question

【題目】如圖，已知拋物線過點(diǎn)，過定點(diǎn) 的直線:與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)，連接，作的垂直平分線與過點(diǎn)D作x軸的垂線交于點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在拋物線上，并證明你的判斷；

（3）若，設(shè)的中點(diǎn)為，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得周長(zhǎng)最小，若存在求出周長(zhǎng)的最小值，若不存在說明理由；

（4）若，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得的面積為，若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，理由詳見解析；（3）存在，;（4）存在， 或或

【解析】

（1）拋物線過點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）設(shè)I的坐標(biāo)為 ，過I作IH⊥y軸于點(diǎn)H，由點(diǎn)I在線段DF的垂直平分線上，求得ID=IF=y，在Rt中，利用勾股定理計(jì)算，求得得點(diǎn)I的坐標(biāo)為，從而說明點(diǎn)在拋物線上；

（3）先求得的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，作PN⊥軸于點(diǎn)N，利用(2)的結(jié)論：拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離等于它到軸的距離，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)最小，即可求得答案；

（4）作QR⊥軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)R，先求得直線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形面積公式求得，再求得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則，解方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線過點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）在，理由如下：

設(shè)I的坐標(biāo)為 ，過I作IH⊥y軸于點(diǎn)H，如圖：

則，，

∵點(diǎn)I在線段DF的垂直平分線上，

∴ID=IF=y，

在Rt中，，

∴，

化簡(jiǎn)得：，

∴點(diǎn)I在拋物線上；

（3）存在，理由如下：

若，設(shè)的中點(diǎn)為，

，

消去y得：，

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：，

縱坐標(biāo)為：，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，

由(2)可知：拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離等于它到軸的距離，

設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小，

過點(diǎn)P作PN⊥軸于點(diǎn)N，如圖：

∵，

由于是定值，，

∴當(dāng)三點(diǎn)共線，即⊥軸于點(diǎn)N時(shí)，周長(zhǎng)最小，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，

，

∴周長(zhǎng)最小值為：；

（4）存在，理由如下：

過點(diǎn)Q作QR⊥軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)R，如圖，

將代入得：，

∴直線的解析式為：，

解得：，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，

，

∵的面積為，

∴，

∴，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，

∴，

當(dāng)時(shí)，

解得：，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，

當(dāng)時(shí)，即，

，

解得：或，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，

綜上：滿足條件的點(diǎn)為： 或或．